Geometrie und Architektur IX/2012:
Antoni Gaudí i Cornet - Geometrie

Gaudí hat eine erhebliche Anzahl großartiger Werke hinterlassen, sein Hauptwerk, an dem er die letzten Jahrzehnte seines Lebens arbeitete, ist jedoch die Sagrada Família in Barcelona. Der Bau, ein Vorhaben von ungeheurer Dimension, wurde zu seinen Lebzeiten bei weitem nicht fertig, bis zum Bürgerkrieg wurde weitergebaut, dann kamen alle Arbeiten zum Stillstand. Der Bürgerkrieg in Spanien wurde mit ungeheurem Hass und ungeheurer Brutalität geführt, auf der einen Seite die verfassungsmäßige Linksregierung, unterstützt von den in Spanien mächtigen Anarchisten, den Kommunisten und Sozialisten aller Schattierungen, auf der anderen Seite die aufständischen Militärs, im Inneren unterstützt von der unendlich reichen Oberschicht und der Kirche (beides die wichtigsten Auftraggeber von Gaudí), von außen her von Hitler und Mussolini. Aus dieser Konstellation heraus ist es verständlich, dass so manches Sakralbauwerk zu Schaden kam, so auch die Sagrada Família, die von den Anarchisten beschädigt wurde, wobei vor allem auch ein Großteil der Unterlagen zum Bau verlorenging. Die Reste wurden in jahrzehntelanger Arbeit wieder geordnet, vor allem wurden seine zahlreichen Gipsmodelle wieder zusammengebaut.
Erst in letzter Zeit, angefacht vermutlich auch durch den katalanischen Nationalismus, wurde der Weiterbau wieder ernsthaft aufgenommen, die heute sicher erscheinende Fertigstellung wird aber noch viele Jahre auf sich warten lassen (angeblich in den Zwanzigerjahren).
Während sich die Profanbauten durchaus in den europäischen Jugendstil einordnen lassen, setzt die Sagrada Família unmittelbar die Gotik fort, wenn man das Innere auf sich wirken lässt, wird man sich der Meinung nicht ganz verschließen können, es handle sich hier um die Apotheose (und damit den definitiven Abschluss und Höhepunkt der Gotik, siehe das Bild).

Kennzeichen der Gotik sind:

Der modulare Grundriss. Ein Grundmaß (hier 7.5m) bzw. ein Modul (ein Joch) wird festgelegt und daraus der gesamte Grundriss aufgebaut. Dabei ist die Anzahl der Schiffe nicht das Wesentliche: ein "normaler" Großbau hatte deren fünf, nicht ganz so große drei, fallweise auch zwei (Dominikanerinnen in Imbach) oder auch nur eines (Kartäuser). Auch das "gebundene System der Höhenstaffelung ist nicht charakteristisch (Hallenkirchen). Wir sehen es hier perfekt verwirklicht.
Das Trägersystem. Die einen Bau zerstörenden Kräfte werden in den Rippen, Säulen (Pfeilern und im Strebewerk gebündelt und abgeleitet. Die dazwischen liegenden Mauerteile haben keine tragende Funktion, sie konnten daher durch riesige Fenster ersetzt werden (die diaphanen Wände der Gotik).
Das Licht wurde ein wichtiges Element. Die Kathedrale wurde durch das von den bunten Glasfenstern gefilterte Licht in ein magisches (himmlisches!!) Licht getaucht, dazu waren die Pfeiler und die Wände bunt bemalt, nicht mit Figuren sondern mit einem ausgefeilten Farbsystem, das von "erdigen" Farben unten bis zu "himmlischen" oben reichte, die Decke etwa immer blau mit goldenen Sternen.
Alle diese Elemente sehen wir hier verwirklicht, und zwar (man muss es schon sagen) perfekter als in der Gotik selber, auf Grund neuer Techniken, Materialen, wissenschaftlicher Erkenntnisse und vor allem aber durch die Kenntnis neuer geometrischer Elemente. In diesem Sinn setzt die Kathedrale die vor 500-600 Jahren aprupt zum Stillstand gekommene Gotik fort, entwickelt sie weiter und führt sie zu einem neuen Höhepunkt. "Entwickelt sie weiter" ist hier besonders wichtig, denn die Neugotik (Votivkirche) führt sie auch weiter, aber auf demselben Niveau (wie perfekt es auch immer war).

Kirchenraum, Altar und das Deckenwölbe

Die Sagrada Família - die Vollendung der Gotik und das Abbild des neuen Jerusalem: Offb 21,

18 Und ihr Mauerwerk war aus Jaspis und die Stadt aus reinem Gold, gleich reinem Glas. 19 Und die Grundsteine der Mauer um die Stadt waren geschmückt mit allerlei Edelsteinen. Der erste Grundstein war ein Jaspis, der zweite ein Saphir, der dritte ein Chalzedon, der vierte ein Smaragd, 20 der fünfte ein Sardonyx, der sechste ein Sarder, der siebente ein Chrysolith, der achte ein Beryll, der neunte ein Topas, der zehnte ein Chrysopras, der elfte ein Hyazinth, der zwölfte ein Amethyst. 21 Und die zwölf Tore waren zwölf Perlen, ein jedes Tor war aus einer einzigen Perle, und der Marktplatz der Stadt war aus reinem Gold wie durchscheinendes Glas.

Eine Besprechung der seinen Bauten zugrunde liegenden Geometrie ist sehr schwierig bzw. letztendlich unmöglich.

Einerseits war er zweifellos auf der Höhe der damaligen Geometrie und mit einer großen Klasse von Flächen vertraut, viel mehr, als damals in der Architektur verwendet wurden. Daneben war er als Architekt natürlich auch in der Statik bestens geschult. Die Pläne waren derartig kompliziert, dass sie nicht mit damaligen (und heutigen) Mitteln gezeichnet werden konnten; für die Fertigstellung der Sagrada Família wird eine Software aus der Flugzeugkonstruktion verwendet.
Wegen der Unmöglichkeit, Pläne zu zeichnen, bzw. um überhaupt die gestellten Probleme lösen zu können, fertigte er Gipsmodelle an, von denen die meisten in den Bürgerkriegswirren verloren gingen. Für die Baumeister heute ist es sehr schwer, seine Entwürfe zu rekonstruieren (eher: zu erraten). Als Architekt der Superreichen in Katalonien und prononcierter Katholik war er der im Elend lebenden Arbeiterschaft und deren politischer Vertretung, den Anarchisten, eher ein Feindbild.
Die in früheren Zeiten fertig gestellten Bauten können natürlich bequem analysiert werden (die Villen oder den Park GÜell kann man bequem durchwandern und vermessen), bei der Sagrada Família geht das nicht so einfach, in über 60m Höhe befindliche Gewölbe können nicht so einfach begutachtet werden, außerdem sieht man es einem Gewölbe dieser Art keineswegs ohne weiters an, aus welchen geometrischen Objekten es besteht.
Aus diesem Grund werden nur einige Aspekte herausgegriffen; auch nur einen Baldachin wirklich richtig und mit allen Details zu modellieren wird eher unmöglich sein.
Neben der großen Zahl nutzloser Literatur sollen zwngei Werke besonders hervorgehoben werden:
José Louis Moro (Hg.): Antoni Gaudí. Sinnliche Konstruktion: München 2003
Mark Burry. Gaudí Unseen: Berlin 2007
Virtueller Rundgang
Eine größere Anzahl einschlägiger Literatur befindet sich übrigens in der Bibliothek der TU Wien.

Dass es sich bei der Sagrada Família um Gotik handelt, geht schon einmal ganz klar aus dem Grundriss hervor und aus der Architektur im Großen, wie ein Vergleich mit dem Kölner Dom zeigt (niemals könnte man von einem beliebigen Renaissance- oder Barockbau auch nur die geringste Ähnlichkeit mit einem gotischen Grundriss behaupten).
Die gotische Kathedrale besteht aus einzelnen Jochen, die das Maßsystem insgesamt festlegen. Jedes Joch ist von einem Baldachin überspannt, der aus den Rippen und dem Gewölbe dazwischen besteht. Die Rippen dürften dabei Kreisbögen, unter Umständen auch Korbbögen gewesen sein mit im Scheitelpunkt nicht waagrechter Tangente, das verbindende Gewölbe im einfachsten Fall Kreis- (nicht Dreh-) Zylinder. Die Rippen tragen die gesamte Last des Baues, man könnte alle Wände und Gewölbeflächen entfernen ohne die Stabilität des Baues zu erschüttern (theoretisch wenigstens). Der (lotrechte) Gewölbedruck wird von den Rippen auf die Dienste weitergeleitet.
Jedes Gewölbe weist einen (waagrechten) Schub nach außen auf, der im Falle der Romanik durch massives Mauerwerk abgefangen wird, im Fall der Gotik durch die an der Außenseite liegenden Strebebögen.
Eine manchmal vorkommende, eher hanebüchene Methode sind die Zuganker, massive Holzbalken oder Ketten, die das Auseinanderfallen der Gewölbe unterbinden. Besonders imposant sind die Ringanker in den großen Kuppeln der Renaissance, etwa Santa Maria del Fiore in Florenz oder San Pietro in Rom (man muss sich dazu allerdings in den sehr unangenehmen Raum zwischen Innen- und Aussenkuppel begeben).
Weiters sieht man gut das "gebundene System", die Koppelung von rechteckigen und quadratischen Jochen.
Unten also ein Baldachin (Blender) bzw. die Realität (Reims)
Quelle 1: Wikipedia Quelle 2: Wikipedia

Ground plan of the church of La Sagrada Família

Sagrada Família (Quelle), im Vergleich dazu der Kölner Dom (Quelle)

In der Gotik griff man zu keinen weiteren Flächen als den erwähnten allgemeinen Kreiszylindern, allerdings wurde das rechteckige Joch bald variiert indem man andere Grundrisse verwendete (im Chorumgang Trapeze), und die vier Zylinderstücke vervielfachte, so dass außerordentlich vielfältige und sehr komplizierte Gewölbe entstanden (Netzrippengewölbe). Höhepunkt und Ende gotischer Innovationslust war die ins Extreme gesteigerte Kathedrale St. Pierre von Beauvais, die (geradezu folgerichtig) einstürzte und den Baumeistern ihre Grenzen aufzeigte.

Die Konstruktion mit Blender ist übrigens ganz einfach, zuerst werden zwei kongruente zueinander etwas verschobene Zylinder geschnitten, worauf man einen Zylinder mit linsenförmigem Querschnitt erhält.
Ein weiteres derartiges Objekt wird entworfen und vom ersten subtrahiert. Dann wird gleich auch die untere Hälfte entfernt.
Das so veränderte erste Gewölbe wird dupliziert und um 90° gedreht.

Gaudí griff die Idee der gotischen Kathedrale wieder auf und setzte sie fort, allerdings unter Verwendung der inzwischen erreichten theoretischen Erkenntnisse und praktischen Technologie. Die Sagrada Família ist durchaus als Höhepunkt (und vom heutigen Standpunkt wenigstens) Vollendung der Gotik anzusehen, wie die beiden Bilder zeigen, nebenbei durchaus benachbarte Bauten: die Kathedrale von Barcelona und die Sagrada Família.

Die Neuerungen von Gaudí waren u.A.:

Ersetzung der kreis- oder ellipsenförmigen Bögen durch Parabel- oder Kettenlinienbögen, vor allem bei Gewölben in Haus und Keller.
Grund:
"Ein Bogen folgt einer Stützlinie, wenn in seinem gesamten Querschnitt bei einer gegebenen Belastung nur Druckspannungen vorhanden sind. Biege-, Schub- und Torsionspannungen sind dagegen nicht vorhanden. Bei einem nur mit seiner eigenen Gewichtskraft belasteten Bogen folgt die Stützlinie einer Katenoide, bei einer über die Bogenspannweite verteilten Gleichstreckenlast einer quadratischen Parabel. Der Materialeinsatz für einen in einer Stützlinie verlaufenden Bogen ist minimal, die Stützlinie repräsentiert damit ein Optimum."
Das gotische System der Joche wurde beibehalten, der Baldachin allerdings nicht mehr aus Zylinderteilen zusammengesetzt, sondern aus einschaligen Drehhyperboloiden, deren Kehlkreis dann ein Fenster nach oben zu bildet. Dadurch ist der Innenraum noch viel stärker von Licht durchflutet als in der Gotik. Der Übergang der Hyperboloide in die Pfeiler ist aus der Literatur nicht zu beantworten, aus der Anschauung schon gar nicht. Es sind möglicherweise hyperbolische Paraboloide mit verwendet. Das zugrunde liegende Maß beträgt 7.5m, das Langhausjoch umfasst zwei solcher Module.
Die Pfeiler/ Säulen mit den anliegenden Diensten waren in der Gotik zylindrisch, wenn auch mit kompliziertem Querschnitt. Jetzt werden als Querschnitt z.B. zwei um 45° verdrehte Quadrate verwendet, die gegenläufig verschraubt werden. Während diese Abweichung (zur Gotik) eher geringfügig ist, führt eine andere zu völlig anderen Ergebnissen: die Säulen werden baumartig verzweigt. Zunächst folgt eine Art Kapitell in Form eines Drehellipsoides, darüber verzweigt sich die Säule in zwei und vier Teile. Die einzelnen Säulen öffnen sich dann in Form von Drehhyperboloiden zum Gewölbebaldachin hin.
Auch für die Fenster wurden eigene Lösungen gefunden, z.B. den Durchbruch durch die Wand durch einschaliges (elliptisches) Hyperboloid.

Die Baldachine

ie oben ausgeführt sind die Gewölbe nicht aus Zylinderteilen zusammengesetzt sondern aus Drehyperboloiden, die (angeblich) über HP-Flächen in die Säulen übergehen. Allerdings sind die Dinge in Wirklichkeit viel komplizierter.

Ein Langschiffjoch besteht nicht nur aus einem zentralen Hyperboloid sondern zusätzlich noch aus vier kleineren an den vier Rändern des Baldachins zu den benachbarten des Haupt- und des angrenzenden rechten und linken Seitenschiffes (siehe das Bild unten)
Nicht nur in der Gotik sondern auch bei Gaudí ist die Vierung ein Höhepunkt der Gewölbekonstruktion.
Zentral in der Vierung befindet sich ein Baldachin mit 4m Kehlkreisdurchmesser in 63m Höhe (Beauvais stürzte mit 45m ein!), dieser wird durch 12 konzentrische Säulen mit 105cm Durchmesser gestützt, anschließend nach außen zu 12 Baldachine mit 150cm Kehlkreisdurchmesser, die so geneigt sind. dass sich ihre Achsen in der Mitte der Vierung unten treffen. Nach außen zu wieder 12 Säulen wie vorhin, wiederum nach außen im vierten Kreis vier große Hyperboloide mit 300cm Durchmesser auf den Achsen von Haupt- und Querschiff und acht weitere halb so große.

Die Säulen

Am ehesten denkt man als Laie an Zylinder oder Prismen. Nur: im ganzen Bau wird man vermutlich nicht eines der Beiden finden...

Prismatoide: dazu geht man von einem beliebigen ebenen Polygon der x-y-Ebene aus, extrudiert es in z-Richtung und dreht oben um einen (nicht zu großen) Winkel. Das Ergebnis ist unbefriedigend, das Programm erkennt nicht, dass die Seitenflächen windschiefe Vierecke sind.
Besser daher: man zeichnet das untere und das obere verdrehte Polygon und markiert im Edit Modus immer wieder drei Punkte, die ein Seitendreieck bilden, mit F wird es dann gefüllt. Die Methode sprüht auch nicht gerade vor Eleganz, liefert aber geometrisch richtige Objekte.
Haben oberes und unteres Polygon verschiedene Seitenzahlen (sollte sein: ein Vielfaches voneinander) dann zeichnet man zuerst das Prisma mit Extrusion (hier: achteckig), dann auf selber Höhe das gewünschte neue Polygon (hier: ein Quadrat) und verschmilzt dann zwei Ecken des Achteckes mit einer Ecke des Quadrates durch ALT + M
Gerade offene Regelschraubflächen erhält man durch Verschraubung einer Geraden um eine zu ihr normale windschiefe Achse, hier eines regelmäßigen Polygones der x-y-Ebene um die z-Achse. Das wird auch wieder nicht sehr schön, abhelfen kann man mit Extrusione: man extrudiert das Polygon in z-Richtung und dreht dann, beides um kleine Werte. Dann hat man einen Baustein konstruiert. Dasselbe nochmals ergibt zwei Bausteine. Daraufhin kopiert man beide, verschiebt sie in Richtung und dreht sie um die z-Achse, beides um den jeweils doppelten Wert. Vier Teile sind konstruiert. Diese werden markiert usw. Durch die geometrische Reihe < 2ⁿ > erreicht man rasch große Höhen.
Subdivision Surface. Der Catmull-Clark Algorithmus bügelt die Grobheiten wieder aus, die bei der Verschraubung eines Quadrates entstehen. Man sieht das derbe Konstruktionsgerüst außen und innen eine schön geglättete Schraubfläche.

Die Säulen sind aber nicht einfach, sie verzweigen sich. Sie können so entstanden gedacht werden:

ein Quadrat (einmal angenommen, der Einfachheit halber) wird einige Male unterteilt (Subdivide) und extrudiert um eine Höhe h
je ein Viertel des neuen Deckquadrates wird weiter extrudiert um die Höhe h/2 und radial nach außen verschoben
Von jedem der vier neuen Deckquadrate wird wieder jedes Viertel extrudiert um die Höhe h/4 und etwas nach außen verschoben (nur mehr einmal gezeichnet)
das Ergebnis ist ein fraktaler Baum.
In Wirklichkeit wurde kein Quadrat genommen sondern je nach Lage der Säule verschiedene Polygone, diese wurden außerdem eher verschraubt
Zusätzlich wurde der Querschnitt noch gedreht, so dass eigentlich eine Komposition einer Reihe von geraden offenen Regelschraubflächen entstand. Säulen dieser Art heißen Salomonische Säulen, warum auch immer, denn dass die beiden Säulen Jachin und Boas, die vor dem Tempel standen, gewunden waren, steht zumindest nicht in der Bibel (1.Könige 7:15-21)

Die Maße, vor allem der Säulen, sind eingewoben in ein Netz von arithmetischen Beziehungen.

Die Höhe einer Säule in Metern entspricht dem Doppelten der Eckenanzahl der Basis (zwölfeckige Basis ... Höhe = 24m). Dieses Doppelte denkt man sich erhalten als Summe der geometrischen Reihe n + n/2 + n/4 + ... = 2n. Nach den ersten drei Höhenintervallen, bei n=12 also in der Höhe 12m bzw. 18m bzw. 21m findet jeweils eine Verdoppelung der Seitenanzahl statt, also von 12 auf 24 in h=12m auf 48 in h=18m auf schließlich 96 in h=21m
Die Höhe der Säule ist also 24m. Diese verteilen sich auf Basis, Schaft und Kapitell. Die Basis misst 12dm=1.2m, der Schaft die oben genannten 21m und das Kapitell den Rest, 1.8m. Die Dicke des Schaftes beträgt 10% der Höhe, also 2.1m. Ab dem Kapitell beginnen die Verzweigungen.
Es gibt Säulen mit n=6 - 8 - 10 - 12.

Regelflächen

Gaudí verwendete gerne Regelflächen, die er im Planungsstadium mit Gips im Maßstab 1:25 oder 1:10 modellierte.

Wendelflächen sind allgemein übliche Bestandteile einer Wendeltreppe und nicht weiter sensationell
Sehr wohl interessant ist die Verwendung von einschaligen Drehhyperboloiden (u.a.) für den Gewölbebaldachin wie oben schon beschrieben und für Fenster. Diese lassen sich erhalten (und leicht aus Gips modellieren) durch Rotation einer Geraden um eine zu ihr windschiefe Achse.
Weiters verwendete er hyperbolische Paraboloide als Übergang zwischen dem eigentlichen Gewölbe der Baldachine zu den Säulen. Genaueres kann leider nicht berichtet werden, da es keine genaueren Erklärungen zu geben scheint und sich die Dinge in 45m Höhe abspielen. Diese konstruierte er seinen Aufzeichnungen nach als Erzeugnis ähnlicher Punktreihen auf zwei Geraden.
Der Literatur zufolge verwendete er auch Schraubtorsen, allerdings ist nicht klar wo genau.
Sehr leicht zu entdecken sind jedoch ein Konoid als Dach der neben der Sagrada Família gelegenen Schule. Konoide sind Regelflächen mit einer eigentlichen und einer uneigentlichen Leitgeraden (oft senkrecht zueinander wie etwa beim Plücker Konoid) und einer weiteren beliebigen Kurve. Das Konoid besteht aus allen Geraden, die die drei Leitlinien treffen.

Die Konstruktion des Hyperboloides kann auf eine (zweischaliges H.) oder zwei (einschaliges H.) Arten erfolgen (kurz gefasst)
ENTWEDER

Durch Drehung einer Geraden. Dazu muss man eine Gerade konstruieren: irgend ein Objekt entwerfen, in den Edit Modus gehen, das Objekt löschen
Jetzt kann man im Edit Modus eine erzeugende Strecke konstruieren (nicht durch O, sonst entsteht ein Kegel), zweimal STRG + LMT. Mit N kann man den Punkten beliebige Koordinaten zuweisen.
Im Edit Modus mit A die Strecke markieren, auf den Pivot Punkt achten, dann Spin (Werkzeugfenster links), 360° und etwa 24 Teile einstellen.

ODER

Durch Drehung einer Hyperbel. Diese muss man aber zuerst konstruieren.
Dazu verwendet man am besten einen Drehkegel und eine senkrechte Plane und bildet die Differenz Kegel - Plane und löscht die Plane.
Dann löscht man alle nicht benötigten Flächen des Kegels, bis nur mehr die Hyperbel übrig ist. Am besten verwendet man dazu die Face Select Methode.
Die Hyperbel verschiebt man an eine passende Stelle und dreht sie dann wie oben (der Pivot Punkt muss auf der Hyperbelachse liegen).
Je nachdem ob man um die Haupt- oder Nebenachse drehen lässt ergibt sich ein einschaliges oder zweischaliges Hyperboloid.

Die Paraboloide sind ebenfalls einfach zu konstruieren.

Für das Drehparaboloid verschafft man sich sinngemäß wie oben bei der Hyperbel eine Parabel, die dann gedreht wird.
Das hyperbolische Paraboloid erzeugt man am besten durch Extrusion einer Strecke. Eine solche erhält man, indem man irgendein Objekt im Editmodus löscht und dann zweimal mit STR + LMT die Streckenendpunkte setzt. Jeden Punkt extra kann man mit N auf seine Koordinaten kontrollieren. Die Strecke wird dann markiert und entsprechend den Vorgaben extrudiert und anschließend beliebig gedreht.
Die beiden Erzeugendenscharen erhält man, indem man im Editmodus die vier Eckpunkte markiert und Subdivide wählt.

Einschaliges Hyperboloid mit Erzeugenden (oben)
Hyperbolisches Paraboloid (oben)
Einschaliges Hyperboloid mit Hyperbeln (rechts)
elliptisches Paraboloid (rechts)
Zweischaliges Hyperboloid (rechts)
Diese Flächen sind aber keine Mesh-Objekte; will man mit ihnen Mesh-Operationen durchführen (z,B, Boole'sche Operationen), muss man sie erst konvertieren mit ALT-C

Man kann ein Muster jeder Fläche vorbereiten und abspeichern, bei Bedarf kann dann jede beliebige durch Ähnlichkeitstransformation (S Zahl beim Drehparaboloid) oder Affinität (S x Zahl, S y Zahl) erhalten werden.

Die Schule

Die Konstruktion erfolgt folgendermaßen:

Da es keine vorgefertigten Sinuskurven gibt, behilft man sich mit einer Bézierkurve, deren Stützpolygon man im Edit-Modus passend umformt für einen Bogen (0 bis p), den man dann dupliziert, verschiebt usw.
Wichtig: die gesamte Kurve muss im Objekt-Modus in ein Meshobjekt konvertiert werden durch ALT + C.
Dann kann man wieder im Edit-Modus extrudieren, wobei man zunächst einen Zylinder erhält, seine Begrenzung kann man dann in z-Richtung auf 0 skalieren und fertig ist das halbe Konoid.
Für das ganze Dach muss man die eine Hälfte noch spiegeln.

Blender 2.64

Der Blender Bildschirm legt das etwas ostblockhaft anmutende Aussehen aus der Frühzeit des Computers ab und zeigt sich nun im gewohnten Gewand moderner Grafik- und 3D-Programme. Das hat natürlich zur Folge, dass man sich von einigen Gewohnheiten trennen muss bzw. dass man einige Zeit benötigt, um alle Werkzeuge wieder zu finden (eine angepasste Beschreibung ist noch unvollständig). Daher soll (beispielhaft) kurz der Einsatz eines Boole'schen Modifyers besprochen werden.